Question

10．在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若b=c•cosA，則$\frac{a+b}{c}$的取值范圍是$（1，\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理化簡b=c•cosA后，代入$\frac{a+b}{c}$化簡，利用基本不不等式和邊角關(guān)系求出$\frac{a+b}{c}$的范圍．

解答 解：由題意得，b=c•cosA，
由余弦定理得b=c•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，化簡得c²=a²+b²，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{2ab}{2ab}}$=$\sqrt{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號），
又c＜a+b，則1＜$\frac{a+b}{c}$≤$\sqrt{2}$，
∴$\frac{a+b}{c}$的取值范圍是$（1，\sqrt{2}]$，
故答案為：$（1，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查余弦定理的應(yīng)用，邊角關(guān)系，以及基本不等式求最值，屬于中檔題．