Question

16．正四面體ABCD的表面積為S，其中四個(gè)面的中心分別是E、F、G、H．設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則$\frac{T}{S}$等于$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 因?yàn)檎�四面體四個(gè)面都是正△，其中心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊距離的一半，通過作出輔助線，可得兩四面體的邊長(zhǎng)比，由面積比是邊長(zhǎng)比的平方，可得出答案

解答 解：解：如圖所示，正四面體ABCD四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H，
∴四面體EFGH也是正四面體．
連接AE并延長(zhǎng)與CD交于點(diǎn)M，
連接AG并延長(zhǎng)與BC交于點(diǎn)N．
∵E、G分別為面的中心，
∴$\frac{AE}{AM}$=$\frac{AG}{AN}$=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{GE}{MN}$=$\frac{2}{3}$．
又∵M(jìn)N=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{GE}{BD}$=$\frac{1}{3}$．
∵面積比是相似比的平方，
∴兩四面體的面積比為$\frac{T}{S}$=$\frac{1}{9}$．
故答案為：$\frac{1}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多面體的面積比是邊長(zhǎng)比的平方，本題關(guān)鍵是求邊長(zhǎng)比是多少；類似的有體積比是邊長(zhǎng)比的立方，三角形的高，中線，角平分線的比等于邊長(zhǎng)的比