Question

11．定義在D上的函數(shù)f（x），若滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界：
（1）設f（x）=$\frac{x}{x+1}$，判斷f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是否有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出f（x）的所有上界的值的集合，若不是，也請說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；從而可得|f（x）|≤1，從而求得；
（2）由題意知-3≤1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x≤3在[0，+∞）上恒成立，從而可得-（4•2^x+2^-x）≤a≤2•2^x-2^-x在[0，+∞）上恒成立，從而求得．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{x}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
則f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是增函數(shù)；
故f（-$\frac{1}{2}$）≤f（x）≤f（$\frac{1}{2}$）；
即-1≤f（x）≤$\frac{1}{3}$，
故|f（x）|≤1，
故f（x）是有界函數(shù)；
故f（x）的所有上界的值的集合是[1，+∞）；
（2）∵g（x）=1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，
∴-3≤1+a•（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{4}$）^x≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴-（4•2^x+2^-x）≤a≤2•2^x-2^-x在[0，+∞）上恒成立，
而-（4•2^x+2^-x）在[0，+∞）上的最大值為-5；
2•2^x-2^-x在[0，+∞）上的最小值為1；
故-5≤a≤1；
故實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性的判斷與應用，同時考查了學生的學習能力及轉化思想的應用，屬于中檔題．