Question

18．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，點(diǎn)P在雙曲線上，△F₁PF₂的面積為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$等于2．

Answer 1

分析 先根據(jù)面積可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直接用向量相乘就可以得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為h，則
∵△F₁PF₂的面積為$\sqrt{3}$，|F₁F₂|=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×h$=$\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1可得x=±$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
不妨取P（$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{5}$），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，0-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）•（$\sqrt{5}$-$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，0-$\frac{\sqrt{15}}{5}$）=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程，考查向量知識的運(yùn)用，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．