Question

8．已知圓的方程x²+y²-6x-2y-15=0．
（1）求直線x+2y=0截圓所得的弦長；
（2）求以原點為中點的弦所在直線方程；
（3）若點P（x，y）滿足圓方程，求$\frac{y-10}{x-8}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到該圓的圓心坐標(biāo)和半徑大小，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求直線x+2y=0截圓所得的弦長；
（2）求出以原點為中點的弦所在直線方程的斜率為-3，即可求以原點為中點的弦所在直線方程；
（3）設(shè)$\frac{y-10}{x-8}$=t，則y-10=t（x-8），即tx-y-8t+10=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|-5t+9|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤5，即可求$\frac{y-10}{x-8}$的取值范圍．

解答 解：（1）∵圓x²+y²-6x-2y-15=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-3）²+（y-1）²=25
∴該圓的圓心為C（3，1），半徑r=5
圓心到直線的距離d=$\frac{5}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$，
∴直線x+2y=0截圓所得的弦長2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$；
（2）k_OC=$\frac{1}{3}$
∴以原點為中點的弦所在直線方程的斜率為-3，方程為y=-3x；
（3）設(shè)$\frac{y-10}{x-8}$=t，則y-10=t（x-8），即tx-y-8t+10=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-5t+9|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$≤5，∴t≥$\frac{28}{45}$．

點評 本題給出圓的一般方程，考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化的知識，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．