Question

9．已知O₁，O₂，O₃分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的三個(gè)面A₁B₁C₁D₁，CC₁D₁D，BCC₁B₁的中點(diǎn)，求異面直線AO₁與O₂O₃所成角的大�。�

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，可得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量$\overrightarrow{A{O}_{1}}$和$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$可得坐標(biāo)，由向量的夾角和直線所成角的關(guān)系可得．

解答 解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），O₁（1，1，2），O₂（1，2，1），O₃（2，1，1），
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$=（1，1，2），$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$=（1，-1，0），
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$•$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$=1×1+1×（-1）+2×0=0，
∴$\overrightarrow{A{O}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{O}_{2}{O}_{3}}$，∴異面直線AO₁與O₂O₃所成角為90°

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，建系轉(zhuǎn)化為向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．