Question

3．某業(yè)余俱樂部由10名乒乓球隊(duì)員和5名羽毛球隊(duì)員組成，其中乒乓球隊(duì)員中有4名女隊(duì)員；羽毛球隊(duì)員中有2名女隊(duì)員，現(xiàn)采用分層抽樣方法（按乒乓球隊(duì)和羽毛球隊(duì)分層，在每一層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從這15人中共抽取3名隊(duì)員參加一項(xiàng)比賽．
（Ⅰ）求所抽取的3名隊(duì)員中乒乓球隊(duì)員、羽毛球隊(duì)員的人數(shù)；
（Ⅱ）求從乒乓球隊(duì)抽取的隊(duì)員中至少有1名女隊(duì)員的概率；
（Ⅲ）記ξ為抽取的3名隊(duì)員中男隊(duì)員人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分層抽樣的定義按照比例抽取即可．
（Ⅱ）設(shè)“從乒乓球隊(duì)抽取的隊(duì)員中至少有1名女隊(duì)員”為事件A，利用超幾何分布求得概率
（Ⅲ）寫出隨機(jī)變量ξ的所有情況，根據(jù)超幾何分布寫出各自概率求得分布列期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）抽取乒乓球隊(duì)員的人數(shù)為$3×\frac{10}{15}=2$人；
羽毛球隊(duì)員的人數(shù)為$3×\frac{5}{15}=1$人．…..（2分）
（Ⅱ）設(shè)“從乒乓球隊(duì)抽取的隊(duì)員中至少有1名女隊(duì)員”為事件A，
則$P（A）=\frac{C_6^1C_4^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{2}{3}$，
所以從乒乓球隊(duì)抽取的隊(duì)員中至少有1名女隊(duì)員的概率為$\frac{2}{3}$．…..（6分）
（Ⅲ）ξ=0，1，2，3
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{4}{75}$
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}+\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{22}{75}$
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}+\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}{C}_{5}^{1}}=\frac{34}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{C_6^2•C_3^1}{{C_{10}^2•C_5^1}}=\frac{1}{5}$．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{4}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{1}{5}$

∴Eξ=$0×\frac{4}{75}+1×\frac{22}{75}+2×\frac{34}{75}+3×\frac{1}{5}=\frac{9}{5}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查超幾何分布的應(yīng)用和隨機(jī)變量的分布列期望，屬中檔題型，高考常考題型．