Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，A=$\frac{π}{4}，cosB=\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{2}，b=\sqrt{5}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式即可求出；
（Ⅱ）根據(jù)三角形的面積公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$cosB=\frac{4}{5}＞0$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$
∴$cosC=cos[π-（\frac{π}{4}+B）]=-cos（\frac{π}{4}+B）$，
=$-（cos\frac{π}{4}cosB-sin\frac{π}{4}sinB）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{3}{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{4}{5}=-\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$sinC=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∵$a=2\sqrt{2}，b=\sqrt{5}$
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•\sqrt{5}•\frac{{7\sqrt{2}}}{10}=\frac{{7\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式，三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．