Question

9．已知圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P與圓O₁外切且與圓O₂內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求E的方程；
（2）過O₂的直線l交E于A，C兩點(diǎn)，設(shè)△O₁AO₂，△O₁CO₂的面積分別為S₁，S₂，若S₁=2S₂，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由于圓O₁：（x+1）²+y²=1，圓O₂：（x-1）²+y²=9，動(dòng)圓P分別與圓O₁相外切，與圓O₂相內(nèi)切．故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4，從而軌跡是橢圓，故可求方程；
（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，由面積關(guān)系得到A、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)得關(guān)系，則t可求，直線的斜率可求．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），動(dòng)圓P的半徑為r（r＞0），
則由題意知|PO₁|=1+r，|PO₂|=3-r，
←于是|PO₁|+|PO₂|=4，即動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）的距離之和為4．
又∵4=|PO₁|+|PO₂|＞|O₁O₂|=2，
∴點(diǎn)P在以兩定點(diǎn)O₁（-1，0）、O₂（1，0）為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓上．
設(shè)此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）
由a=2，c=1，得b²=a²-c²=3．
因此，動(dòng)圓圓心P所在的曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如圖，由題意可知，直線l的斜率存在且不為0．
設(shè)直線l的方程為x=ty+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3t²+4）y²+6ty-9=0．
解得：${y}_{A}=\frac{-3-6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}，{y}_{B}=\frac{-3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
由S₁=2S₂，得$\frac{3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}=2\frac{-3+6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，解得$t=\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍去）或$t=-\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴直線l的斜率k=$\frac{1}{t}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的方程以及直線和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．綜合性較強(qiáng)，屬中檔題．