Question

8．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，DC=2AB，設(shè)Q為棱PC上一點(diǎn)，$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$
（1）求證：當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，BQ∥平面PAD；
（2）若PD=1，BC=$\sqrt{2}$，BC⊥BD，試確定λ的值使得二面角Q-BD-P的平面角為45°．

Answer 1

分析 （1）設(shè)PD的中點(diǎn)為F，連接qF，證明四邊形FABq是平行四邊形．利用直線與平面平行的判定定理證明Bq∥平面PAD．
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面PBD的法向量．平面QBD的法向量，通過二面角結(jié)合數(shù)量積求解λ即可．

解答 （1）證明：設(shè)PD的中點(diǎn)為F，連接F，
∵點(diǎn)Q，F(xiàn)分別是△PCD的中點(diǎn)，
∴QF∥CD，且QF=$\frac{1}{2}$CD，
∴QF∥AB，且QF=AB，
∴四邊形FABQ是平行四邊形．
∴BQ∥AF，又AF?平面PAD，BQ?平面PAD，
∴BQ∥平面PAD．
（2）解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C（0，2，0），A（1，0，0），B（1，1，0）．
令Q（x₀，y₀，z₀），∵$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{PC}$∴，Q（0，2λ，1-λ），
∵BC⊥平面PBD，
∴平面PBD的法向量為$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）．
設(shè)平面QBD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=\frac{2λ}{λ-1}y}\end{array}\right.$．令y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，$\frac{2λ}{λ-1}$）．
若二面角Q-BD-P為45°，
則$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+（\frac{2λ}{λ-1}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=-1±$\sqrt{2}$，
∵Q在PC上，0＜λ＜1．∴$λ=\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求解與應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．