Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）求證：；

（2）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

設(shè)AE＝BF＝x．以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）通過(guò)計(jì)算，證明A1F⊥C1E．

（2）判斷當(dāng)S△BEF取得最大值時(shí)，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．求出平面B1EF的法向量，底面ABCD的法向量，設(shè)二面角B1﹣EF﹣B的平面角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求出，然后求解二面角B1﹣EF﹣B的正切值．

設(shè)AE＝BF＝x．以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2﹣x，2，0）．

（1）因?yàn)?/span>，，

所以．

所以A1F⊥C1E．

（2）因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)S△BEF取得最大值時(shí)，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值．

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)x＝1時(shí)，即E，F分別是棱AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐B1﹣BEF的體積取得最大值，此時(shí)E，F坐標(biāo)分別為E（2，1，0），F（1，2，0）．

設(shè)平面B1EF的法向量為，

則得

取a＝2，b＝2，c＝﹣1，得．顯然底面ABCD的法向量為．

設(shè)二面角B1﹣EF﹣B的平面角為θ，由題意知θ為銳角．

因?yàn)?/span>，所以，于是．

所以，即二面角B1﹣EF﹣B的正切值為．