Question

20．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且點P（2，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點A、B都在橢圓C上，且AB中點M在線段OP（不包括端點）上．
    ①求直線AB的斜率；
    ②求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，相減，再由中點坐標公式和直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求值；
②設出直線AB的方程：y=-x+t，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，運用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由P代入橢圓方程，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，
解得a=$\sqrt{6}$，b=c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²+2y₁²=6，x₂²+2y₂²=6，
相減可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由題意可得k_OM=k_OP=$\frac{1}{2}$，
即為$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
可得直線AB的斜率為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$×2=-1；
②設直線AB的方程為y=-x+t，
代入橢圓方程可得，3x²-4tx+2t²-6=0，
由△=16t²-12（2t²-6）＞0，解得-3＜t＜3，
x₁+x₂=$\frac{4t}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{t}^{2}-6}{3}$，
|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{t}^{2}}{9}-\frac{8{t}^{2}-24}{3}}$
=$\frac{4}{3}$$\sqrt{9-{t}^{2}}$，
又O到AB的距離為d=$\frac{|t|}{\sqrt{2}}$，
即有△AOB面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{2}}{3}$$\sqrt{{t}^{2}（9-{t}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{3}$•$\frac{{t}^{2}+9-{t}^{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當t²=9-t²，即t=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$時，S取得最大值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查三角形的面積的最值的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．