Question

12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=2，DA=1，四邊形的四個角分別記為A，B，C，D．
（1）若A+C=π，求BD的長度．
（2）若△ABD和△BCD的面積分別記為S，T，求S²+T²的最大值．

Answer 1

分析 （1））△ABD中，BD²=16+1-2×4×1×cosA，①，△BCD中，BD²=9+4-2×3×2×cosC，②，A+C=π，①+②，可求BD的長度．
（2）先計(jì)算S，T，由（1）可得2cosA-3cosC=1，利用配方法求S²+T²的最大值．

解答 解：（1）△ABD中，BD²=16+1-2×4×1×cosA，①
△BCD中，BD²=9+4-2×3×2×cosC，②
∵A+C=π，
∴①+②，可得2BD²=30，∴BD=$\sqrt{15}$；
（2）由（1）可得2cosA-3cosC=1，
S=$\frac{1}{2}•4•1•sinA$=2sinA，T=$\frac{1}{2}•3•2•sinC$=3sinC，
∴S²+T²=4sin²A+9sin²C=4-（3cosC+1）²+9sin²C=-18cos²C-6cosC+12=-18（cosC+$\frac{1}{6}$）²+12.5，
∴cosC=-$\frac{1}{6}$，S²+T²的最大值為12.5．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．