Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，證出AF∥EG，由線面平行的判定定理，即可證出：AF∥平面PCE．
（2）先證明BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理即可證出平面PAC⊥平面PBD．

解答 證明：（1）取PC的中點(diǎn)G，連接FG、EG，
∴FG為△CDP的中位線，
∴FG平行且等于CD
∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)
∴AB平行且等于CD，
∴FG平行且等于AE，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AF∥EG
又EG?平面PCE，AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；
（2）連接AC，BD，則BD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面位置關(guān)系，面面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力．