Question

7．已知單位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，其中k＞0，則下列與向量$\overrightarrow$垂直的向量可以是（　　）

• A． 6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$
• B． $\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$
• C． $\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow$
• D． $\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的平方即為模的平方，可得k²+4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=0，對選項(xiàng)一一考慮，運(yùn)用向量垂直的條件，求出k，結(jié)合條件k＞0，即可判斷．

解答 解：單位向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
則（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）²=3（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²，
即有${\overrightarrow{a}}^{2}$-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k²$\overrightarrow$²=3（k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$），
即為k²+4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=0，
若6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow$垂直，則（6$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$，
即有k²-$\frac{4}{3}$k+1=0，由于判別式小于0，則k無實(shí)數(shù)解，不成立；
若$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$向量$\overrightarrow$垂直，由上面的分析可知，也不成立；
若$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow$向量$\overrightarrow$垂直，則（$\overrightarrow{a}$-$\frac{3}{2}$$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$，
即有k²+6k+1=0，可得k有兩個(gè)負(fù)根，不成立；
若$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$向量$\overrightarrow$垂直，則（$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=0，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{3}{4}$
即有k²-3k+1=0，可得k有兩個(gè)正根，成立．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)用，同時(shí)考查向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．