Question

19．如圖，空間四邊形ABCD的對棱AD、BC成90°的角，且AD=BC=a，平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．E在AB上，截面EGFH的最大面積是$\frac{1}{4}{a}^{2}$．

Answer 1

分析 由已知得∠HGF=90°，設(shè)AE：AB=x，則S_{四邊形EFGH}=EF．EH=ax•a（1-x），由此能求出當(dāng)E為AB的中點時，截面的面積最大，并能求出最大面積．

解答 解：∵空間四邊形ABCD的對棱AD、BC成90°的角，且AD=BC=a，
平行于AD與BC的截面分別交AB、AC、CD、BD于E、F、G、H．E在AB上，
∴∠HGF=90°，設(shè)AE：AB=x，
∵$\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}=x$，BC=a，∴EF=ax，
由$\frac{EH}{AD}=\frac{BE}{AB}=1-x$，得EH=a（1-x）．
S_{四邊形EFGH}=EF．EH=ax•a（1-x）=a²•（-x²+x）
=$\frac{{a}^{2}}{4}$-a²（x-$\frac{1}{2}$）²，
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，${S_{最大值}}=\frac{1}{4}$a²，
即當(dāng)E為AB的中點時，截面的面積最大，最大面積為${S_{最大值}}=\frac{1}{4}$a²．
故答案為：$\frac{1}{4}{a}^{2}$．

點評 本題考查截面面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意配方法的合理運用．