已知f(x)=x2-(a+2)x+alnx
①當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的極小值;
②當(dāng)a=-1時(shí),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的切線,設(shè)切點(diǎn)為P(m,n),求實(shí)數(shù)m的值;
③若x≥1時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),求出f′(x)=2x-3+
1
x
=
(x-1)(2x-1)
x
,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求出函數(shù)的極值.
(2)先求出f′(x)=2x-1-
1
x
(x>0)
,從而求出切線的方程,整理得m2+lnm-1=0,進(jìn)而求出m的值.
(3)f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
(x-1)(2x-a)
x
(x≥1)
,分別討論a=2,a>2,a<2時(shí)的情況,從而求出a的范圍.
解答: 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=2x-3+
1
x
=
(x-1)(2x-1)
x

當(dāng)x∈(0,
1
2
)f′(x)>0
,f(x)單增,
當(dāng)x∈(
1
2
,1)f′(x)<0
,f(x)單減,
當(dāng)x∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)單增,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得極小值-2.
(2)f′(x)=2x-1-
1
x
(x>0)
,
所以切線的斜率k=2m-1-
1
m
=
n-0
m-0
=
m2-m-lnm
m
,
整理得m2+lnm-1=0,顯然m=1是這個(gè)方程的解.
又∵y=x2+lnx-1在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以x2+lnx-1=0有唯一實(shí)數(shù)解,
故m=1.
(3)f′(x)=2x-(a+2)+
a
x
=
(x-1)(2x-a)
x
(x≥1)

若a=2,則f'(x)≥0,f(x)在[1,+∞)單增,
故f(1)=1-(a+2)≥2,得a≤-1舍去
若a>2,則x∈(1,
a
2
)
時(shí),f′(x)<0,x∈(
a
2
,+∞)
時(shí),f'(x)>0
要f(x)≥0恒成立,
即f(x)的最小值f(
a
2
)≥0,也即
a>2
a2
4
-(a+2)
a
2
+a•ln
a
2
≥0
,
令φ(x)=
x
4
-(x+2)•
1
2
+ln
x
2
(x>2)

=-
x
4
-1+ln
x
2
令t=
x
2
(t>1)
,
h(t)=-
t
2
-1+lnt

h′(t)=-
1
2
+
1
t
=
2-t
2t
,
當(dāng)t∈(1,2)時(shí),h'(t)>0,
當(dāng)t∈(2,+∞)時(shí),h'(t)<0,
∴h(t)在(1,+∞)上的最大值為h(2)=-2+ln2<0,
∴φ(x)<0在x∈(2,+∞)上成立,
x•φ(x)=
x2
4
-(x+2)•
x
2
+xln
x
2
<0在(2,+∞)
上成立,
∴a>2不適合
若a<2,則x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)≥0,f(x)單增,
由題
a<2
f(1)≥0
得a≤-1
,
綜上:a≤-1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的極值問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,參數(shù)的取值,考查分類討論思想,切線方程,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠A.∠B.∠C的對(duì)邊分別是a、b、c,求證:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若直線l:kx+y+2=0與曲線C:ρ=2cosθ相交,則k的取值范圍是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

五個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理成績(jī)?nèi)缦卤恚?br />
學(xué)生ABCDE
數(shù)學(xué)8075706560
物理7066686462
(1)作出散點(diǎn)圖和相關(guān)直線圖;
(2)求出回歸方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

甲、乙兩人參加某種選拔測(cè)試.在備選的10道題中,甲答對(duì)其中每道題的概率都是
3
5
,乙能答對(duì)其中的5道題.規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測(cè)試,答對(duì)一題加10分,答錯(cuò)一題(不答視為答錯(cuò))減5分,至少得15分才能入選.
(Ⅰ)分別求甲得0分和乙得0分的概率;
(Ⅱ)求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),中心為O,右頂點(diǎn)為A,
F1A
F2A
=c2,P為橢圓上任一點(diǎn).
(1)求橢圓離心率;
(2)若cos∠F1PF2=
1
3
,且△PF1F2的面積為
2
時(shí),求橢圓的方程.
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)N為橢圓上動(dòng)點(diǎn),若M(m,0)(m>0),求|MN|的最小值及此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)S={x|x≤3},T={x|x<1},求S∩T,S∪T,(∁US)∩T,(∁US)∩(∁UT),∁U(S∪T).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)若loga
2
5
<1,求a的取值范圍;
(2)求滿足不等式log3x<1的x的取值集合.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+|2x-4|,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案