Question

16．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$（\sqrt{{a}_{n-1}}+1）^{2}$（n≥2），可知$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1（n≥2），進(jìn)而數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$為首項、1為公差的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：a_n=a_n-1+2$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1=$（\sqrt{{a}_{n-1}}+1）^{2}$（n≥2），
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{n-1}}$+1（n≥2），
又∵$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
∴數(shù)列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$為首項、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1），
∴a_n=$（n+\sqrt{2}-1）^{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于中檔題．