Question

5．設(shè)A⊆R且滿足：若a∈A，則$\frac{1}{1-a}$∈A且1?A．
（1）若2∈A，問A中還有哪些元素？
（2）A中能否只有一個(gè)元素，若可以求出AA，若不可以說明理由；
（3）若A是非空數(shù)集，則A中最少有幾個(gè)元素？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)知，a與$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，故由2∈A，再利用 $\frac{1}{1-a}$進(jìn)行求解，直到求出三個(gè)元素為止，用列舉法表示出來；
（2）由a與$\frac{1}{1-a}$都在集合A中，再由集合A只含有一個(gè)元素得，故假設(shè)a∈A時(shí)，有a=$\frac{1}{1-a}$進(jìn)行求解，若有解則存在，若無解則不存在，
（3）由1∉A知a≠0，∴得出a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A，進(jìn)一步得到得  $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）2∈A得$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，得$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，得 $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A，
所以，A={2，-1，$\frac{1}{2}$}；
（2）設(shè)A={a}，則a=$\frac{1}{1-a}$，即a²-a+1=0，該方程無實(shí)數(shù)解；
（3）由1∉A知a≠0，∴a∈A，$\frac{1}{1-a}$∈A
得  $\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈A，
所以1-$\frac{1}{a}$是A中元素，
∴A中最少有3個(gè)元素．

點(diǎn)評 本題考查了元素與集合的關(guān)系，主要根據(jù)集合元素的特征進(jìn)行求解，對于存在型的問題，需要先假設(shè)存在有條件列出方程進(jìn)行求解說明，考查了邏輯思維能力