Question

定義max{a，b}表示實(shí)數(shù)a，b中的較大的．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，若a₂₀₁₄=2a，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₄的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)0＜a＜2時(shí)，利用遞推公式分別求出數(shù)列的前8項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，a₂₀₁₄=a₄=

8

a

=2a，解得a=±2，不成立；當(dāng)a≥2時(shí)，利用遞推公式分別求出數(shù)列的前8項(xiàng)，得到數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，a₂₀₁₄=a₄=4=2a，解得a=2，由此能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：當(dāng)0＜a＜2時(shí)，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，
∴a₃=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

＞2，
a₄=2max{

4

a

，2}=

8

a

，
a₅=

a

4

•2max{

8

a

，2}=4，
a₆=

a

8

•2max{4，2}=a，
a₇=

1

4

•2max{a，2}=1，
a8=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

，
…
∴數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，
∵2014=402×5+4，
∴a₂₀₁₄=a₄=

8

a

=2a，
解得a=±2，不成立；
當(dāng)a≥2時(shí)，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，
∴a₃=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

＜2，
a₄=2max{

4

a

，2}=4，
a₅=

a

4

•2max{4，2}=2a≥4，
a₆=

1

4

•2max{2a，2}=a＞2，
a₇=

1

2a

•2max{a，2}=1，
a₈=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

，
…
∴數(shù)列{a_n}是以5為周期的周期數(shù)列，
∵2014=402×5+4，
∴a₂₀₁₄=a₄=4=2a，解得a=2，
∴S₂₀₁₄=402（a+1+

4

a

+4+2a）+a+1+

4

a

+4
=402（2+1+2+4+4）+2+1+2+4
=5235．
故答案為：5235．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2014項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意遞推公式和周期數(shù)列的合理運(yùn)用．