Question

在三棱錐S-ABC中，AB=BC=

2

，SA=SC=AC=2，二面角S-AC-B的余弦值是 

3

3

，則三棱錐S-ABC外接球的表面積是（　　）

• A、

  3

  2

  π
• B、2π
• C、

  6

  π
• D、6π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：審題后，二面角S-AC-B的余弦值是

3

3

是重要條件，根據(jù)定義，先作出它的平面角，如圖所示．進(jìn)一步分析此三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，找出其外接球半徑的幾何或數(shù)量表示，再進(jìn)行計算．

解答： 解：如圖所示：
取AC中點(diǎn)D，連接SD，BD，則由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，
∴∠SDB為S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．
∵AB=BC=

2

，AC=2，易得：△ABC為等腰直角三角形，
又∵BD⊥AC，故BD=AD=

1

2

AC，
在△SBD中，BD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
在△SAC中，SD²=SA²-AD²=2²-1²=3，
在△SBD中，由余弦定理得SB²=SD²+BD²-2SD•BDcos∠SDB=3+1-2×

3

×1×

3

3

=2，
滿足SB²=SD²-BD²，
∴∠SBD=90°，SB⊥BD，
又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．
以SB，BA，BC為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個棱長為

2

的正方體，S、A、B、C都在正方體的外接球上，
正方體的對角線為球的一條直徑，所以2R=

3

×

2

，R=

6

2

，
∴球的表面積S=4π×（

6

2

）²=6π．
故選：D

點(diǎn)評：本題考查面面角，考查球的表面積，解題的關(guān)鍵是確定外接圓的半徑，屬于中檔題．