Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，1≤x≤3}\\{x-3，x＞3}\\{\;}\end{array}\right.$，若在其定義域內(nèi)存在n（n≥2，n∈N^*）個(gè)不同的數(shù)x₁，x₂，…，x_n，使得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$，則n的最大值是3；若n=2，則$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的最大值等于4-$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出f（x）的圖象，利用$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)的直線與f（x）相交點(diǎn)的斜率．利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)的直線與f（x）相交點(diǎn)的斜率，
由圖象知過(guò)原點(diǎn)的直線和f（x）最多有3個(gè)交點(diǎn)，即n的最大值是3，
若n=2，則直線與f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
則當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線y=kx的斜率k=0，或者y=kx與f（x）在1≤x≤3相切時(shí)的斜率，
其中$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的最大值為y=kxf（x）在1≤x≤3相切時(shí)的斜率，
將y=kx代入y=-x²+4x-3，得kx=-x²+4x-3，即x²+（k-4）x+3=0，
由判別式△=（k-4）²-12=0得k-4=±$2\sqrt{3}$，即k=4±$2\sqrt{3}$，
∵方程的根x=$-\frac{k-4}{2}$∈（1，2），
∴0＜k＜2，則k=4-$2\sqrt{3}$，
故$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$的最大值等于4-$2\sqrt{3}$，
故答案為：3，4-$2\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$=…=$\frac{f（{x}_{n}）}{{x}_{n}}$=k的幾何意義是過(guò)原點(diǎn)的直線與f（x）相交點(diǎn)的斜率，是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．