Question

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增；中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．設(shè)f（t）表示學(xué)生注意力隨時(shí)間t（分鐘）的變化規(guī)律（f（t）越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析得知：f（t）=

-t2+26t+80 ，  0＜t≤10 240 ，          10≤t≤20 kt+400 ，         20≤t≤40

，
（1）求出k的值，并指出講課開始后多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能堅(jiān)持多久？
（2）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解24分鐘，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到185，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由分段函數(shù)知，求出每一段上的最大值即可判斷；
（2）解每一段上f（t）=185的解，從而得到時(shí)間段，從而求解．

解答： 解：（1）當(dāng)t=20時(shí)，f（t）=240，
則有240=20k+400；
解得，k=-8；
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，f（t）=-t²+26t+80是單調(diào)遞增的，且f（10）=240；
當(dāng)10＜t≤20時(shí)，f（t）=240；
當(dāng)20＜t≤40時(shí)，f（t）=-8t+400是單調(diào)遞減的，且f（20）=240；
故講課開始后10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能堅(jiān)持10分鐘；
（2）由f（t）=-t²+26t+80=185解得，t=5或t=21（舍去）；
由f（t）=-8t+400=185解得，t=26.875；
故學(xué)生的注意力至少達(dá)到185的時(shí)間有26.875-5=21.875＜24；
故老師不能在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講授完這道題目．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．