Question

12．圓心在直線(xiàn)x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由圓心在直線(xiàn)x-2y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．

解答 解：設(shè)圓心為（2t，t），半徑為r=|2t|，
∵圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
∴t²+3=4t²，
∴t=±1，
∵圓C與y軸的正半軸相切，
∴t=-1不符合題意，舍去，
故t=1，2t=2，
∴（x-2）²+（y-1）²=4．

點(diǎn)評(píng) 此題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．