Question

13．若正方體外接球的體積是$\frac{9}{2}$π，則正方體的棱長等于$\sqrt{3}$；該正方體內(nèi)切球的表面積為3π．

Answer 1

分析 先求出正方體外接球的半徑，從而求出正方體的棱長，進而求出該正方體內(nèi)切球的半徑，由此能求出該正方體內(nèi)切球的表面積．

解答 解：設正方體外接球的半徑為R，
∵正方體外接球的體積是$\frac{9}{2}$π，
∴$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{9}{2}π$，解得R=$\frac{3}{2}$．
設正方體的棱長為a，則$\sqrt{3}a=3$，解得a=$\sqrt{3}$，
∴該正方體內(nèi)切球的半徑r=$\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴該正方體內(nèi)切球的表面積為S=4πr²=4π×$（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3π．
故答案為：$\sqrt{3}$，3π．

點評 本題考查正方體的棱長及正方體內(nèi)切球的表面積的求法，是中檔題，注意正方體及外接球、內(nèi)切球的性質(zhì)的合理運用．