Question

2．以下幾個命題中：其中真命題的序號為③④（寫出所有真命題的序號）
①設A，B為兩點定點，k為非零常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$則動點P的軌跡為橢圓；
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}$=1有相同的焦點；
④若方程2x²-5x+a=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則0＜a＜3；
⑤在平面內，到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點的軌跡是拋物線．

Answer 1

分析 ①根據(jù)雙曲線的定義知①不正確；
②設出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點P的軌跡為圓（除去A點）；
③求出雙曲線的焦點與橢圓的焦點，即可判定；
④雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1大于0，即可判定．；⑤說明點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，不滿足拋物線的定義．

解答 解：①平面內與兩個定點F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對值等于常數(shù)k（k＜|F₁F₂|）的點的軌跡叫做雙曲線，當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，∴①不正確；
②，設定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），因為AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，把B的坐標代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當B與A重合時AB不是弦，所以點A除外，所以②不正確；
③雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$與橢圓$\frac{{x}^{2}}{35}+{y}^{2}=1$的焦點都是（±$\sqrt{34}$，0），有相同的焦點，正確；
④正確方程2x²-5x+a=0的可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{2-5+a＜0}\end{array}\right.$，∴0＜a＜3，正確；
⑤在平面內，點（2，1）在直線3x+4y-10=0上，
∴到定點（2，1）的距離與到定直線3x+4y-10=0的距離相等的點的軌跡不是拋物線，∴⑤不正確
故答案為：③④．

點評 本題通過命題真假的判定，考查橢圓、雙曲線拋物線的定義、性質和曲線的方程與方程的曲線等問題，是綜合題目．