Question

【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足 ．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣1，1]，且 ，點(diǎn)N是以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p＞0），其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為

直線l的方程為 ，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，

所以 ，

因?yàn)? ，解得p=1，

所以所求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2x

（2）解：設(shè)點(diǎn) ，

由（1）知， ，所以 ，

因?yàn)? ，

所以（t﹣m）2=9得t=m+3或t=m﹣3，

因?yàn)椹?≤m≤1，∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2，

由拋物線定義可知，以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，

所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為 ，

所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣4，﹣2]∪[2，4]

【解析】（1）設(shè)出拋物線方程，聯(lián)立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，求出p，即可求拋物線的方程；（2）由（1）知， ，結(jié)合 ，確定t的范圍，根據(jù)拋物線的定義可知，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，可得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為 ，即可求出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．