Question

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞y＞0且x+y=1，則$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$=$\frac{2（x+3y+x-y）}{x+3y}$+$\frac{x+3y+x-y}{2（x-y）}$=2$\frac{x-y}{x+3y}$+$\frac{x+3y}{2（x-y）}$+$\frac{5}{2}$，從而利用基本不等式求解．

解答 解：$\frac{4}{x+3y}$+$\frac{1}{x-y}$
=$\frac{2（x+3y+x-y）}{x+3y}$+$\frac{x+3y+x-y}{2（x-y）}$
=2+2$\frac{x-y}{x+3y}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{x+3y}{2（x-y）}$
=2$\frac{x-y}{x+3y}$+$\frac{x+3y}{2（x-y）}$+$\frac{5}{2}$
≥2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)2$\frac{x-y}{x+3y}$=$\frac{x+3y}{2（x-y）}$，即x=$\frac{5}{6}$，y=$\frac{1}{6}$時(shí)，等號(hào)成立），
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及基本不等式的應(yīng)用．