Question

9．已知函數(shù)$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}}）$．
（1）求f（x）的單調增區(qū)間；
（2）設$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α-\frac{π}{2}}）=-\frac{16}{17}，f（{3β+π}）=\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得f（x）的增區(qū)間．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的余弦公式，求得cos（α+β）的值．

解答 解：（1）對于函數(shù)$f（x）=2sin（{\frac{1}{3}x-\frac{π}{3}}）$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得6kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤6kπ+$\frac{5π}{2}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[6kπ-$\frac{π}{2}$，6kπ+$\frac{5π}{2}$]，k∈Z．
（2）∵$α，β∈[{0，\frac{π}{2}}]，f（{3α-\frac{π}{2}}）=-\frac{16}{17}，f（{3β+π}）=\frac{6}{5}$，
∴2sin（α-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{16}{17}$，2sinβ=$\frac{6}{5}$，∴cosα=$\frac{8}{17}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{15}{17}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{8}{17}•\frac{4}{5}$-$\frac{15}{17}•\frac{3}{5}$=-$\frac{13}{85}$．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的增區(qū)間，同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的余弦公式的應用，屬于中檔題．