Question

19．已知a是大于0的實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²（x-a）． 
（1）若f′（2）=0，求a值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=f（x）+$\frac{m}{x-1}$是[3，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=3x²-2ax，從而可得f′（2）=12-4a=0，從而解得；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，從而討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值．
（ III）由（Ⅰ）得a=3，從而可得g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，g′（x）=3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，從而化為g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，從而化為最值問(wèn)題求解即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（2）=12-4a=0，
∴a=3；
（Ⅱ）令f′（x）=3x²-2ax=0，
解得x=0或x=$\frac{2a}{3}$；
①當(dāng)$\frac{2a}{3}$≥2，即a≥3時(shí)，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
故f_min（x）=f（2）=8-4a；
②當(dāng)0＜$\frac{2a}{3}$＜2，即0＜a＜3時(shí)，
f（x）在[0，$\frac{2a}{3}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{2a}{3}$，2]上單調(diào)遞增，
故f_min（x）=f（$\frac{2a}{3}$）=-$\frac{4}{27}$a³；
綜上所述，0＜a＜3時(shí)，f_min（x）=-$\frac{4}{27}$a³，
a≥3時(shí)，f_min（x）=8-4a；
（ III）由（Ⅰ）得a=3，
故g（x）=x³-3x²+$\frac{m}{x-1}$，g′（x）=3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$，
∵g（x）是[3，+∞）上的增函數(shù)，
∴g′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，
即3x²-6x-$\frac{m}{（x-1）^{2}}$≥0在[3，+∞）上恒成立．
設(shè)（x-1）²=t，t∈[4，+∞），
∴3t-3-$\frac{m}{t}$≥0在[4，+∞）上恒成立．
∴m≤3（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$在[4，+∞）上恒成立；
令h（t）=3（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$，t∈[4，+∞），
∴h_min（t）=36，
故m≤36，當(dāng)m=36時(shí)，g′（x）不恒為0，滿足題意．
∴實(shí)數(shù)m的最大值是36．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與分類討論的思想的應(yīng)用．