Question

19．設(shè)橢圓C₁：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}$=1與拋物線C₂：y²=8x的一個(gè)交點(diǎn)為P（x₀，y₀），定義f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}（0＜x＜{x}_{0}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}（x＞{x}_{0}）}\end{array}\right.$，若直線y=a與y=f（x）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且已知定點(diǎn)N（2，0），則△ABN的周長(zhǎng)的范圍是（$\frac{20}{3}$，8）．

Answer 1

分析 可考慮用拋物線的焦半徑公式和橢圓的焦半徑公式來(lái)做，先通過(guò)聯(lián)立拋物線與橢圓方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，可得A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，再利用焦半徑公式轉(zhuǎn)換為以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為參數(shù)的式子，再根據(jù)前面求出的B點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍計(jì)算即可．

解答 解：由橢圓方程和拋物線方程聯(lián)立
解得x₀=$\frac{4}{3}$，y₀=±$\sqrt{\frac{32}{3}}$，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}，0＜x＜\frac{4}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}，\frac{4}{3}＜x＜4}\end{array}\right.$，
直線y=a（0＜a＜$\sqrt{\frac{32}{3}}$），
作出函數(shù)y=f（x）和直線y=a的圖象，
由圖象可得A在拋物線上，B在橢圓上，
由焦半徑公式可得，△ABN的周長(zhǎng)為
|AN|+|BN|+|AB|=x_A+$\frac{p}{2}$+a-ex_B+x_B-x_A
=2+4-$\frac{1}{2}$x_B+x_B=6+$\frac{1}{2}$x_B，
由x_B∈（$\frac{4}{3}$，4），
可得6+$\frac{1}{2}$x_B∈（$\frac{20}{3}$，8）．
故△ABN的周長(zhǎng)的取值范圍是（$\frac{20}{3}$，8）．
故答案為：（$\frac{20}{3}$，8）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線與橢圓焦半徑公式的應(yīng)用，做題時(shí)要善于把未知轉(zhuǎn)化為已知，屬于中檔題．