Question

4．設△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．若△ABC的面積為2，AB邊上的中線長為$\sqrt{2}$，且b=acosC+csinA，則△ABC中最長邊的長為4或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，D為AB的中點．b=acosC+csinA，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C），展開化簡可得：tanA=1，A∈（0，π），A=$\frac{π}{4}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2，可得bc=4$\sqrt{2}$．在△ACD中，由余弦定理可得：$（\sqrt{2}）^{2}$=$^{2}+（\frac{c}{2}）^{2}$-2b×$\frac{c}{2}$cos$\frac{π}{4}$，解得b，c，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，D為AB的中點．
∵b=acosC+csinA，由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinCsinA=cosAsinC，sinC≠0，可得tanA=1，A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=2，∴bc=4$\sqrt{2}$．
在△ACD中，由余弦定理可得：$（\sqrt{2}）^{2}$=$^{2}+（\frac{c}{2}）^{2}$-2b×$\frac{c}{2}$cos$\frac{π}{4}$，化為：4b²+c²=24，
與bc=4$\sqrt{2}$聯(lián)立可得：b=$\sqrt{2}$，c=4，或b=2，c=2$\sqrt{2}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{4}$，解得a=$\sqrt{10}$或2．
∴三角形的邊長分別為：$\sqrt{10}$，$\sqrt{2}$，4；或2，2，2$\sqrt{2}$．
故△ABC的最長邊為4或2$\sqrt{2}$．
故答案為：4或2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理及其誘導公式、正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．