Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²-ax+a．設p：方程f（x）=0有實數(shù)根；q：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先考慮命題p，q均為真命題，求出a的取值范圍，再根據(jù)p，q中一真一假，分別求出a的取值范圍，最后求并集．

解答 解：若p真，即方程f（x）=0有實數(shù)根，
則△=a²-4a≥0?a≤0，或a≥4；…（2分）
若q真，即函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
則區(qū)間[1，2]在對稱軸的右邊即$\frac{a}{2}$≤1⇒a≤2…（3分）
因為p和q有且只有一個正確，所以p，q中一真一假．
若p真q假，則 $\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a≥4}\\{a＞2}\end{array}\right.$⇒a≥4；
若p假q真，則 $\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a≤2}\end{array}\right.$⇒0＜a≤2．…（7分）
所以實數(shù)a的取值范圍為（0，2]∪[4，+∞）．

點評 本題主要考查命題的真假判斷和應用，同時考查函數(shù)的單調(diào)性和集合、不等式的運算，是一道基礎題．