Question

13．已知O為△ABC內(nèi)一點，滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，則△OBC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知得O為三角形的重心，從而△OBC的面積為△ABC面積的$\frac{1}{3}$，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，得|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，由此求出△ABC面積，從而得到△OBC的面積．

解答 解：∵O為△ABC內(nèi)一點，滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}$，
∴O為三角形的重心，∴△OBC的面積為△ABC面積的$\frac{1}{3}$，
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，且$∠BAC=\frac{π}{3}$，∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos∠BAC=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|×$\frac{1}{2}$=2，
∴|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=4，
∴△ABC面積為$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴△OBC的面積為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形重心性質(zhì)的合理運(yùn)用．