Question

13．為配合上海迪斯尼游園工作，某單位設(shè)計人數(shù)的數(shù)學(xué)模型（n∈N⁺）：以f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{200n+2000，n∈[1，8]}\\{360•{3}^{\frac{n-8}{12}}+3000，n∈[9，32]}\\{32400-720n，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n時進(jìn)入人數(shù)，以g（n）=$\left\{\begin{array}{l}{0，n[1，18]}\\{500n-9000，n∈[19，32]}\\{8800，n∈[33，45]}\end{array}\right.$表示第n個時刻離開園區(qū)的人數(shù)；設(shè)定以15分鐘為一個計算單位，上午9點15分作為第1個計算人數(shù)單位，即n=1：9點30分作為第2個計算單位，即n=2；依此類推，把一天內(nèi)從上午9點到晚上8點15分分成45個計算單位：（最后結(jié)果四舍五入，精確到整數(shù)）．
（1）試計算當(dāng)天14點到15點這一個小時內(nèi)，進(jìn)入園區(qū)的游客人數(shù)f（21）+f（22）+f（23）+f（24）、離開園區(qū)的游客人數(shù)g（21）+g（22）+g（23）+g（24）各為多少？
（2）從13點45分（即n=19）開始，有游客離開園區(qū)，請你求出這之后的園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多的時刻，并說明理由：

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件利用代入法即可得f（21）+f（22）+f（23）+f（24）和g（21）+g（22）+g（23）+g（24）的值，
（2）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)天14點至15點這一小時內(nèi)進(jìn)入園區(qū)人數(shù)為f（21）+f（22）+f（23）+f（24）=360×[3${\;}^{\frac{13}{12}}$+3${\;}^{\frac{14}{12}}$+3${\;}^{\frac{15}{12}}$+3${\;}^{\frac{16}{12}}$]+3000×4≈17460（人）…3分
離開園區(qū)的人數(shù)g（21）+g（22）+g（23）+g（24）=9000 （人）    …6分
（2）當(dāng)f（n）-g（n）≥0 時，園內(nèi)游客人數(shù)遞增；
當(dāng) f（n）-g（n）＜0時，園內(nèi)游客人數(shù)遞減．…7分
①當(dāng)19≤n≤32 時，由f（n）-g（n）=360•3${\;}^{\frac{n-8}{12}}$-500n+12000≥0，可得：
當(dāng) 19≤n≤28 時，進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)多于離開園區(qū)游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來越多；…9分
當(dāng)29≤n≤32  時，進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)少于離開游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)將變少；  …11分
（ f（28）-g（28）=246.49＞0； f（29）-g（29）=-38.13＜0 ） 
②當(dāng)33≤n≤45 時，由f（n）-g（n）=-720n+23600 遞減，且其值恒為負(fù)數(shù)．進(jìn)入園區(qū)游客人數(shù)少于離開游客人數(shù)，總?cè)藬?shù)將變少． …13分
綜上，當(dāng)天下午16點時（n=28）園區(qū)內(nèi)的游客人數(shù)最多，此時計算可知園區(qū)大約共有77264人．…14分

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，分析問題與解決問題的能力/能通過建立數(shù)學(xué)模型，解決有關(guān)社會生活、生產(chǎn)實際或其他學(xué)科的問題，并能解釋其實際意義是解決本題的關(guān)鍵．