Question

19．對(duì)于橢圓${C_{（a，b）}}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0，a≠b）$．若點(diǎn)（x₀，y₀）滿足$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}＜1$．則稱該點(diǎn)在橢圓C_{（a，b）}內(nèi)，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A在過點(diǎn)（2，1）的任意橢圓C_{（a，b）}內(nèi)或橢圓C_{（a，b）}上，則滿足條件的點(diǎn)A構(gòu)成的圖形為（　�。�

• A． 三角形及其內(nèi)部
• B． 矩形及其內(nèi)部
• C． 圓及其內(nèi)部
• D． 橢圓及其內(nèi)部

Answer 1

分析 點(diǎn)A（x₀，y₀）在過點(diǎn)P（2，1）的任意橢圓C_（a，b）內(nèi)或橢圓C_（a，b）上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$≤1．由橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)B（-2，1），點(diǎn)C（-2，-1），點(diǎn)D（2，-1），都在任意橢圓上，即可得出．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀）在過點(diǎn)P（2，1）的任意橢圓C_{（a，b）}內(nèi)或橢圓C_{（a，b）}上，
則$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$≤1．
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}$≤$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，
由橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)B（-2，1），點(diǎn)C（-2，-1），點(diǎn)D（2，-1），都在任意橢圓上，
可知：滿足條件的點(diǎn)A構(gòu)成的圖形為矩形PBCD及其內(nèi)部．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．