Question

3．已知P是拋物線y²=4x上的一個動點，則P到直線l₁：4x-3y+11=0和l₂：x+1=0的距離之和的最小值是3．

Answer 1

分析 如圖所示，過點P分別作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M，N．設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，求|PM|+|PN|轉(zhuǎn)化為求|PM|+|PF|，當(dāng)三點M，P，F(xiàn)共線時，|PM|+|PF|取得最小值．利用點到直線的距離公式求解即可．

解答 解：如圖所示，
過點P分別作PM⊥l₁，PN⊥l₂，垂足分別為M，N．l₂：x+1=0是拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程．
拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），
由拋物線的定義可得|PN|=|PF|，過P作直線l₁：4x-3y+11=0的垂線，垂足為M，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PF|，當(dāng)三點M，P，F(xiàn)共線時，|PM|+|PF|取得最小值．
其最小值為點F到直線l₁的距離，∴|FM|=$\frac{|4-0+11|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、三點共線、點到直線的公式，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．