Question

4．已知方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tsinα}\\{y=1+tcosα}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)常數(shù)α∈（0，π），t為參數(shù)時，求該直線的傾斜角；
（2）當(dāng)t=2，α為參數(shù)時，過點P（0，1）作直線l與己知方程的曲線相交于兩個不同的點A，B，求|PA|+|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）}$=$tan（\frac{π}{2}-α）$，即可得出該直線的傾斜角．
（2）當(dāng)t=2，α為參數(shù)時，化為（x-1）²+（y-1）²=4，設(shè)過點P（0，1）的直線l方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=mcosθ}\\{y=1+msinθ}\end{array}\right.$，m為參數(shù)，θ∈[0，2π）．代入圓的方程可得：m²-2mcosθ-3=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：|PA|+|PB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$．

解答 解：（1）k=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）}{cos（\frac{π}{2}-α）}$=$tan（\frac{π}{2}-α）$，∵常數(shù)α∈（0，π），∴該直線的傾斜角為$\frac{π}{2}$-α．
（2）當(dāng)t=2，α為參數(shù)時，化為（x-1）²+（y-1）²=4，
設(shè)過點P（0，1）的直線l方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=mcosθ}\\{y=1+msinθ}\end{array}\right.$，m為參數(shù)，θ∈[0，2π）．
代入圓的方程可得：m²-2mcosθ-3=0．
∴m₁+m₂=2cosθ，m₁m₂=-3．
∴|PA|+|PB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+12}$=$2\sqrt{co{s}^{2}θ+3}$∈$[2\sqrt{3}，4]$．
∴|PA|+|PB|的取值范圍是$[2\sqrt{3}，4]$．

點評 本題考查了圓的參數(shù)方程化為普通方程、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、直線的傾斜角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．