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7.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=60°,E是DP中點(diǎn).
(1)證明:PB∥平面ACE;
(2)若AP=PB=2,AB=PC=2,求二面角A-PC-D的余弦值.

分析 (1)連結(jié)BD,BD∩AC=F,連接EF,推導(dǎo)出EF∥PB,由此能證明PB∥平面ACE.
(2)取AB的中點(diǎn)Q,連結(jié)PQ、CQ,以Q點(diǎn)為原點(diǎn),BA所在的直線為x軸,QC所在的直線為y軸,QP所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值.

解答 解:(1)連結(jié)BD,BD∩AC=F,連接EF,
∵四棱錐的底面為菱形,∴F為BD中點(diǎn),
又∵E是DP中點(diǎn),∴在BDP中,EF是中位線,∴EF∥PB,
又∵EF⊆平面ACE,而PB?平面ACE,∴PB∥平面ACE.…(6分)
(2)取AB的中點(diǎn)Q,連結(jié)PQ、CQ,
∵菱形ABCD,且∠ABC=60°,∴正△ABC,∴CQ⊥AB,
AP=PB=2,AB=PC=2,∴CQ=3,且等腰直角△PAB,即∠APB=90°,PQ⊥AB.
∴AB⊥平面PQC,且PQ=1,∴PQ2+CQ2=CP2,∴PQ⊥CQ.
如圖,以Q點(diǎn)為原點(diǎn),BA所在的直線為x軸,QC所在的直線為y軸,
QP所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
Q000A100C030P001D200…(9分)
平面APC上,AP=(-1,0,1),CP=(0,-3,1),
設(shè)平面APC的法向量為n=(x1,y1,z1),則有{x1+z1=03y1+z1=0{x1=3y1=1z1=3,即n=(313),…(11分)
設(shè)平面DPC的法向量為m=(x2,y2,z2),
CD=(2,0,0),CP=(0,-3,1),
則有{2x2=03y2+z2=0,可取m=(0,1,3),…(13分)
∴cos<mn>=mn|m||n|=472=277,
∴二面角A-PC-D的余弦值為277.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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