Question

5．如圖，在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，M為棱AA₁上一點(diǎn)且B₁M與平面ACC₁所成角為30°，確定M的位置．

Answer 1

分析 以BC，BB₁，BA為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，確定相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），根據(jù)B₁M與平面ACC₁所成角為30°，得出$\overrightarrow{{B}_{1}M}$與$\overrightarrow{n}$成角為60°，
根據(jù)向量的數(shù)量積得出點(diǎn)的位置．

解答 解：以BC，BB₁，BA為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
∵AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（1，0，0），B₁（0，2，0），M（0，y，1），C₁（1，2，0）
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（0，y-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
∵平面ACC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{z}_{1}=0}\\{2{y}_{1}=0}\end{array}\right.$
令x₁=1，y₁=0，z₁=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（1.0，1），
∵B₁M與平面ACC₁所成角為30°
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$與$\overrightarrow{n}$成角為60°，
∴根據(jù)向量的數(shù)量積得出：1=$\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{（y-2）^{2}+1}$，0≤y≤2
解得：y=3（舍去），y=1，
∴M（0，1，1）
故M是AA₁的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間直線平面垂直，所成的角的問題，建立坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積求解，計(jì)算要仔細(xì)認(rèn)真，題目不難，容易出錯(cuò)．