Question

20．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，-2），（2，2），不等式|x|+|y|≤2表示的平面區(qū)域記為M，設(shè)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是區(qū)域M上的動(dòng)點(diǎn)，則線段PQ的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積是6．

Answer 1

分析 設(shè)出Q的坐標(biāo)，PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件列出不等式，畫出可行域，求解即可．

解答 解：設(shè)線段PQ的中點(diǎn)（x，y），Q（m，n），P（2，t），t∈[-2，2]．
可得$\frac{m+2}{2}$=x，$\frac{n+t}{2}=y$，即m=2x-2，n=2y-t，
不等式|x|+|y|≤2表示的平面區(qū)域記為M，點(diǎn)Q是區(qū)域M上的動(dòng)點(diǎn)，
可得：|2x-2|+|2y-t|≤2，t∈[-2，2]．
即：|x-1|+|y-$\frac{t}{2}$|≤1，t∈[-2，2]．
不等式表示的可行域如圖：可得線段PQ的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積是一個(gè)長(zhǎng)方形與兩個(gè)等腰直角三角形的面積的和，即：2×2+2×$\frac{1}{2}$×2×1=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．