Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$，則該數(shù)列的前20項(xiàng)和為1123．

Answer 1

分析 分別取n為奇數(shù)和偶數(shù)可得奇數(shù)項(xiàng)是以a₁=1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以a₂=1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．然后利用等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和求得答案．

解答 解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$=2a_n，
故奇數(shù)項(xiàng)是以a₁=1，公比為2的等比數(shù)列；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2=（1+sin²$\frac{nπ}{2}$）a_n+2cos²$\frac{nπ}{2}$=a_n+2，
故偶數(shù)項(xiàng)是以a₂=1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
∴數(shù)列的前20項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為${S}_{奇}=\frac{1-{2}^{10}}{1-2}={2}^{10}-1$=1023，
數(shù)列的前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)和為${S}_{偶}=10×1+\frac{10×9}{2}×2=100$．
∴S₂₀=1023+100=1123．
故答案為：1123．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列與等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題．