Question

11．試判斷函數(shù)f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+cosx+sinx}$在下列區(qū)間上的奇偶性．
（1）x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）；
（2）x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 通過舉反例，x=$\frac{π}{2}$在定義域內(nèi)，x=-$\frac{π}{2}$不在定義域內(nèi)，定義域關(guān)于原點不對稱，故得到結(jié)論 f（x）是非奇非偶函數(shù)．

解答 解：f（x）=$\frac{1+sinx-cosx}{1+cosx+sinx}$=$\frac{1-1+2si{n}^{2}\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{1+2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{2cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$=tan$\frac{x}{2}$．
（1）1+cosx+sinx=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
若x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）；
則x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）
則sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（-1，$\sqrt{2}$]，
1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（0，1+$\sqrt{2}$]此時分母有意義，
則f（-x）=-tan$\frac{x}{2}$=-f（x），即此時函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）若x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
則當x=$\frac{π}{2}$，f（x）有意義，當x=-$\frac{π}{2}$時，f（x）沒有意義，故定義域關(guān)于原點不對稱．
∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，要注意判斷奇偶性的步驟：一是分析定義域是否關(guān)于原點對稱，二是分析f（x）與f（-x）的關(guān)系，屬于中檔題．