Question

8．已知在△ABC中，∠C=90°，∠BAC與∠ABC的角平分線交于點I，求證：AI•BI=$\sqrt{2}$AB•r（r為內(nèi)切圓I的半徑）．

Answer 1

分析 先證明∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°，再利用等面積，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵AI和BI分別為角平分線
∴∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°
∴∠BAI+∠ABI=45°
∴∠AIB=180°-∠BAI+∠ABI=135°
∴S_△ABI=$\frac{1}{2}$AI•BI•sin135°
∵S_△ABI=$\frac{1}{2}$AB•r
∴AI•BI•sin135°=AB•r
∴AI•BI=$\sqrt{2}$AB•r（r為內(nèi)切圓I的半徑）．

點評 本題考查三角形的內(nèi)切圓，考查等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．