Question

11．n∈N，A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，B為A的小數(shù)部分，則AB的值應(yīng)是（　�。�

• A． 7²ⁿ⁺¹
• B． 2²ⁿ⁺¹
• C． 3²ⁿ⁺¹
• D． 5²ⁿ⁺¹

Answer 1

分析 先由n=1，求得A和A的小數(shù)部分B，計算可得27，猜想AB=3²ⁿ⁺¹；再由二項式定理，對A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹，分析可得C即為B，進而化簡計算即可得到結(jié)論．

解答 解：A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹，
令n=1，可得A=（$\sqrt{7}$+2）³=（$\sqrt{7}$）³+3•（$\sqrt{7}$）²•2+3•（$\sqrt{7}$）•2²+2³
=19$\sqrt{7}$+50，
又（$\sqrt{7}$-2）³=（$\sqrt{7}$）³-3•（$\sqrt{7}$）²•2+3•（$\sqrt{7}$）•2²-2³
=19$\sqrt{7}$-50∈（0，1），
可得B=19$\sqrt{7}$-50，AB=（19$\sqrt{7}$+50）（19$\sqrt{7}$-50）=27=3³=3²⁺¹．
猜想AB=3²ⁿ⁺¹；
由二項式定理可以看出，
A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹的展開式中所有奇數(shù)項均含有$\sqrt{7}$，所有偶數(shù)項均為整數(shù)，
我們假設(shè)所有奇數(shù)項的和為$\sqrt{7}$a，所有偶數(shù)項的和為b，
也就是A=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹=$\sqrt{7}$a+b，
設(shè)C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹=$\sqrt{7}$a-b，
那么A+C=2$\sqrt{7}$a，A-C=2b，AC=7a²-b²，
由于0＜$\sqrt{7}$-2＜1，所以0＜C=（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹＜1，
而且當n＞1時C＜$\frac{1}{2}$，即$\sqrt{7}$a-b＜$\frac{1}{2}$，即2$\sqrt{7}$a-2b＜1，
充分說明C為A的小數(shù)部分，即C=B，
則AB=（$\sqrt{7}$+2）²ⁿ⁺¹•（$\sqrt{7}$-2）²ⁿ⁺¹
=[﹙$\sqrt{7}$+2﹚×﹙$\sqrt{7}$-2﹚]²ⁿ⁺¹=3²ⁿ⁺¹．
故選：C．

點評 本題考查二項式定理的運用，注意運用展開式中的各項的特點，考查運算能力，屬于中檔題．