Question

18．已知正三角形ABC的邊長為4，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2，則四面體ABCD外接球表面積為（　　）

• A． 16π
• B． $\frac{32π}{3}$
• C． $\frac{52π}{3}$
• D． $\frac{13π}{3}$

Answer 1

分析 三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可．

解答 解：根據(jù)題意可知三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是正三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為正三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面邊長為1，棱柱的高為2$\sqrt{3}$，
由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，表面積為：4πr²．
球心到底面的距離為$\sqrt{3}$，
底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為：$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以球的半徑為r=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{13}{3}}$．
外接球的表面積為：4πr²=$\frac{52π}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查空間想象能力，計(jì)算能力；三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關(guān)鍵．