Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-3x+4}{x}$，g（x）=mx+2，若對任意的x₁∈[1，3]，總存在x₂∈[1，3]，使得f（x₂）＜g（x₁），則實數(shù)m的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 命題“對任意的x₁∈[1，3]，總存在x₂∈[1，3]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值，只要g（x）_最小值＞1即可．

解答 解：∵x∈[1，3]，
∴f（x）=x+$\frac{4}{x}$-3≥4-3=1，
當且僅當x=$\frac{4}{x}$，即x=2時取等號．∴f（x）_最小值=1，
命題“對任意的x₁∈[1，3]，總存在x₂∈[1，3]，使得g（x₁）＞f（x₂）”?g（x）_最小值＞f（x）_最小值
只要g（x）_最小值＞1即可．
當m＞0時，g（x）=mx+2是增函數(shù)，
對任意的x₁∈[1，3]，g（x）_min=g（1）=2+m．
由題設知2+m＞1，解得m＞-1，
∴m＞0
當m＜0時，g（x）=mx+2是減函數(shù)，
對任意的x₁∈[1，3]，g（x）_min=g（3）=3m+2．
由題設知3m+2＞1，解得m＞-$\frac{1}{3}$，
∴-$\frac{1}{3}$＜m＜0，
當m=0時，g（x）=2＞1，成立．
綜上所述，m＞-$\frac{1}{3}$，
故答案為：（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的應用，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關(guān)系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．