Question

1．如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交直線OB于點(diǎn)E、D，其中D在線段OB上．連結(jié)EC，CD．
（Ⅰ）證明：直線AB是圓O的切線；
（Ⅱ）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，圓O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OC，推導(dǎo)出OC⊥AB，由此能證明AB是圓O的切線．
（Ⅱ）由題意先推導(dǎo)出△BCD∽△BEC，從而得到$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$，由此能求出OA．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)OC，∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
又OC是圓O的半徑，∴AB是圓O的切線．
解：（Ⅱ）∵直線AB是圓O的切線，∴∠BCD=∠E，
又∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC，
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}$，
又tan∠CED=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{EC}=\frac{1}{2}$
設(shè)BD=x，則BC=2x，
又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x（x+6），即3x²-6x=0，
解得x=2，即BD=2，
∴OA=OB=OD+DB=3+2=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線是圓的切線的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．