Question

1．將橢圓x²+$\frac{y^2}{4}$=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，得到曲線C．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)D在曲線C上，C在D處的切線與直線l：y=x+2垂直，求D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求出曲線C的方程為x²+y²=1，即可寫出曲線C的參數(shù)方程；
（2）令參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$中α=$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$，得D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)（x₁，y₁）為橢圓上的點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)（x，y），
依題意，得$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y=\frac{1}{2}{y_1}\end{array}\right.$．
由${x_1}^2+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$得${x^2}+\frac{{{{（2y）}^2}}}{4}=1$，即曲線C的方程為x²+y²=1
故C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$；
（2）因?yàn)镈處的切線與l垂直，因此OD平行于l，
因此令參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.（α為參數(shù)）$中α=$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$，
得$D（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$或$D（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查考查代入法求軌跡方程，考查圓的參數(shù)方程及其運(yùn)用，屬于中檔題．