Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（1）求證：CD⊥平面CPAC；
（2）如果N是棱AB上一點，且直線CN與平面MAB所E，F(xiàn)成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$便得到AB⊥AC，從而CD⊥AC，而由PA⊥底面ABCD便得到CD⊥PA，由線面垂直的判定定理從而得出CD⊥平面PAC；
（2）三條直線AB，AC，AP兩兩垂直，從而可以這三條直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求出A，B，C，D，M，P的坐標(biāo)．可設(shè)N（x，0，0），平面MAB的法向量設(shè)為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，而由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，設(shè)直線CN和平面MAB所成角為α，從而由$sinα=cos（\frac{π}{2}-α）=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CN}＞|$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$即可求得x，從而求出AN，NB，從而求出$\frac{AN}{NB}$．

解答 解：（1）證明：AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$；
∴AB⊥AC；
CD∥AB；
∴CD⊥AC；
PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；
∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；
∴CD⊥平面PAC；
（2）如圖以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；

則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0）；
因為M是棱PD的中點；
所以M（-1，1，1）；
∴$\overrightarrow{AM}=（-1，1，1）$，$\overrightarrow{AB}=（2，0，0）$；
設(shè)$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$為平面MAB的法向量；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2x=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=-y}\end{array}\right.$，令y=1，則$\overrightarrow{n}=（0，1，-1）$；
∵N是在棱AB上一點，∴設(shè)N（x，0，0），（0≤x≤2），$\overrightarrow{CN}=（x，-2，0）$；
設(shè)直線CN與平面MAB所成角為α；
因為平面MAB的法向量$\overrightarrow n=（0，1，-1）$；
所以sinα=$cos（\frac{π}{2}-α）$=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CN}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{{x}^{2}+4}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；
解得x=1，或-1（舍去）；
∴AN=1，NB=1；
所以 $\frac{AN}{NB}=1$．

點評 考查直角三角形邊的關(guān)系，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角的方法，能求空間點的坐標(biāo)，理解平面法向量的概念，兩向量垂直的充要條件，以及直線和平面所成角和直線的方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系，兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．